Системы Морса — Смейла — это структурно устойчивые (грубые) динамические системы на многообразиях с неблуждающим множеством, состоящим из конечного числа орбит. Класс грубых систем был введен в классической работе А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина в 1937 году при изучении систем двух дифференциальных уравнений, заданных в ограниченной части плоскости. В том же году в работе Е. А. Леонтович-Андроновой и А. Г. Майера была поставлена проблема классификации таких систем с точностью до топологической эквивалентности. Класс систем, позднее названных системами Морса — Смейла был введен на замкнутых многообразиях произвольной размерности С. Смейлом, который взял за основу свойства грубых потоков на плоскости, обнаруженных Андроновым и Понтрягиным. К настоящему времени получены весьма исчерпывающие результаты по топологической классификации потоков и каскадов Морса — Смейла на многообразиях размерности, не превосходящей трех. Изложение этих результатов для дискретных динамических систем на многообразиях размерности два и три содержится в книге В. З. Гринеса и О. В. Починки, изданной в 2011 году издательством «РХД». В последние 20 лет достигнут существенный прогресс в изучении систем Морса — Смейла на многообразиях размерности четыре и выше, индуцированный рядом замечательных фактов многомерной топологии. Изложению полученных в этом направлении результатов посвящена эта книга.
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
Часть 1. Начальные сведения о динамических системах Морса -Смейла на многообразиях
Глава 1. Базовые понятия качественной теории динамических систем
Глава 2. Основные свойства систем Морса -Смейла
2.1. Гиперболичность. Локальная топологическая классификация в окрестности гиперболических неподвижных точек
2.2. Асимптотические и топологические свойства инвариантных многообразий систем Морса -Смейла
Часть 2. О структуре фазового пространства систем Морса-Смейла
Глава 3. О связи топологии несущего многообразия градиентноподобного потока с его неблуждающим множеством
3.1. Энергетическая функция и топология вложения сепаратрис
3.2. Разложение Хегора
3.3. Разложение несущего многообразия в связную сумму
Глава 4. О топологии несущего многообразия каскадов Морса — Смейла
Часть 3. Топологическая классификация градиентно- подобных потоков без гетероклинических пересечений
Глава 5. Потоки на сфере Sn и связной сумме многообразий Sn−1 x S1, n _ 3
5.1. Краткая история вопроса
5.2. Схема потока
5.3. Энергетическая функция как топологический инвариант
5.4. Фазовая диаграмма потоков на сфере
5.5. Двухцветный граф
5.6. Реализация классов топологической сопряженности
Глава 6. Потоки на комплексной проективной плоскости
6.1. Потоки с тремя состояниями равновесия
6.2. Топология вложения сепаратрис потока ft ∈ G2(CP2)
6.3. Двухцветный граф потока ft ∈ G2... Это и многое другое вы найдете в книге Проблемы топологической классификации многомерных систем Морса Смейла (Гринес В. З.; Гуревич Е. Я.)