Группа Бурбаки официально называется Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki (ассоциация сотрудников Николя Бурбаки). Группа была образована выпускниками университета «Высшая Нормальная школа» (Ecole Normale Superieure) на базе этого же университета. Так как происхождение или работа многих членов группы была связана с городом Нанси, то псевдонимом стала фамилия известного в этом городе генерала Шарля-Дени Бурбаки, в значительной степени из-за греческого происхождения последнего (намёк на древнегреческую математику, особенно на «Начала» Евклида — трактат самих «Бурбаков» носит название «Начала математики», хотя на русский язык это название обычно переводят как «Элементы математики» за исключением «Теории множеств»). Местожительством Бурбаки был определен город «Нанкаго», то есть Нанси + Чикаго (В Чикаго работали в военное и послевоенное время многие участники группы).
Одним из условий членства в группе был возраст, не превышающий 50 лет. Можно было быть исключённым и раньше, если прочие участники считали, что исключаемый перестал быть творчески работающим математиком. Для этого существовала специальная процедура, носящая название «кокотизация». В основе этого лежит обычай одного из племён Полинезии определять дееспособность своих стареющих вождей — тот должен суметь залезть на пальму и сорвать кокосовый орех. У Бурбаков кокотизация заключалась в следующем: испытуемому описывают какое-нибудь очень сложно определяемое математическое понятие, причём само понятие крайне примитивное, например, число 0, множество целых чисел и т. д. Если испытуемый не сможет догадаться о чём речь, он считается кокотизированным и выбывает из группы, хотя может и участвовать в её организационных или коммерческих мероприятиях. Расцвет группы пришёлся на 1950—1960-е года. Влияние Бурбаки на мировую математику было огромным во Франции, большим в Бельгии, Швейцарии и Италии, довольно значительным в США, и менее значительным в Англии. В СССР к ним относились скорее скептически.
БУРБАКИ выступила с попыткой дать систематическое изложение современной математики на основе аксиоматического метода, примерно так, как Евклид систематически изложил математику своего времени в «Началах».Точный состав группы не разглашался, но известно, что в неё входили такие известные математики, как А. Вейль, А. Картан, Ж. Дьёдонне, К. Шевалле. В многотомном (и далёком от завершения) трактате «Элементы математики», выходящем с 1939 г., развивается формальная аксиоматическая система, которая, по замыслу авторов, должна охватить главнейшие разделы математики. Изложение носит сугубо абстрактный характер. Основу изложения составляют т.н. структуры, определяемые посредством аксиом, например: структуры порядка, группы, топологические структуры. Способ рассуждения – от общего к частному. Классификация математики, производимая по типам структур, значительно отличается от традиционной. ... Это и многое другое вы найдете в книге Серия "Элементы математики" (комплект из 13 книг) (Н. Бурбаки)