Эта книга предназначена для студентов-заочников, изучающих курс высшей математики в объеме программы для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений.
В первой главе дается понятие о вещественном числовом ряде, его сходимости и сумме, устанавливается необходимый признак сходимости ряда, исследуются на сходимость геометрический и гармонический ряды, которые в дальнейшем часто используются в качестве "рядов сравнения", изучаются свойства сходящихся рядов.
Для положительных рядов доказывается необходимый и достаточный признак сходимости, даются достаточные признаки сходимости, среди которых важнейшими являются первый признак сравнения и признак Даламбера.
Для рядов с членами произвольного знака доказывается признак Лейбница, вводится понятие абсолютной сходимости, устанавливается достаточный признак абсолютной сходимости (признак Даламбера) и изучаются свойства абсолютно сходящихся рядов.
В конце главы рассматриваются числовые ряды с комплексными членами.
Во второй главе дается понятие о ряде функций, его области сходимости и сумме, вводится понятие о равномерной сходимости ряда и доказывается достаточный признак равномерной сходимости (признак Вейерштрасса).
Понятие равномерной сходимости существенно используется далее для доказательства непрерывности суммы ряда непрерывных функций и для обоснования законности операций почленного интегрирования и дифференцирования рядов функций.
Особое внимание уделяется степенным рядам. Для них доказывается теорема о строении области сходимости (теорема Абеля), вводится понятие радиуса и интервала сходимости, устанавливаются правила алгебраических действий, доказывается равномерная сходимость, непрерывность суммы ряда и законность почленного интегрирования и дифференцирования внутри интервала сходимости, дается понятие о разложении функции в степенной ряд, доказывается единственность этого разложения и показывается, что всякий сходящийся степенной ряд есть ряд Тейлора для его суммы.
В третьей главе выводятся разложения основных элементарных функций в степенные ряды, тем самым выявляется роль рядов как аналитического аппарата для представления функций.
Разложение функций в степенные ряды применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. Здесь ряды выступают в роли аналитического аппарата для представления искомой функции. В конце главы рассматриваются ряды функций комплексной переменной, среди которых наибольшее внимание также уделяется степенным рядам.
Четвертая глава посвящена рядам Фурье. Дается понятие о тригонометрическом ряде Фурье, доказывается единственность разложения функции в ряд Фурье, приводится комплексная форма ряда Фурье, формулируется основная теорема о разложении функции в ряд Фурье, рассматриваются ряды Фурье для четных и нечетных функций, изучаются вопросы о разложении в ряд Фурье функции, заданной на конечном интервале, и о разложени... Это и многое другое вы найдете в книге Высшая математика. Ряды (Н. М. Матвеев)