Наилучшее приближение

А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я
Наилучшее приближение в Большой Советской энциклопедии

Наилучшее приближение в Большой Советской энциклопедии

важное понятие теории приближения функций. Пусть f(x) — произвольная непрерывная функция, заданная на некотором отрезке [а, b], a φ1(x), φ2(x),..., φn (x) — фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения:

|f(x) — a1φ1(x) - a2φ2(x) -... - anφn (x)| (*)

на отрезке [а, b] называется уклонением функции f(x) от полинома

Pn (x) = a1φ1(x) + a2φ2(x) +... + anφn (x),

а минимум уклонения для всевозможных полиномов Pn (x) (т. е. при всевозможных наборах коэффициентов a1, a2,..., an) — наилучшим приближением функции f(x) посредством системы φ1(x), φ2(x),..., φn (x); Н. п. обозначают через En (f, φ). Таким образом, Н. п. является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом.

Полином P*n (x, f), для которого уклонение от функции f(x) равно Н. п. (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции f(x) (на отрезке [а, b]).

Понятия Н. п. и полинома, наименее уклоняющегося от функции f(x), были впервые введены П. Л. Чебышевым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Можно также рассматривать Н. п., когда под уклонением функции f(x) от полинома Pn (x) понимается не максимум выражения (*), а, например,

См. Приближение и интерполирование функций.

Источник: Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотрите также