Чаплыгина неравенство в Большой Советской энциклопедии
одно из важнейших дифференциальных неравенств. Если y’'(x) = f(x, y) и функции u(х) и v(x) удовлетворяют дифференциальным неравенствам u’'(х)—f(x, u) >0и v’'(x)— f(x,v) <>0(x0≤x≤x1) и u(х0) = v(x0) = y0, то решение y(x) дифференциального уравнения у’'(х) = f(x, y),проходящее через точку (x0,y0), заключено между функциями u(х) и v(x), то есть u(х)> у(х)> v(x),(x0 <> ≤ x1).Эта теорема (здесь изложен простейший случай) была доказана С. А. Чаплыгиным(1919) и положена им в основу метода приближённого интегрирования дифференциальных уравнений (см. Чаплыгина метод). Чаплыгин доказал аналогичную теорему для уравнения у(n)—f(x,у,y',...,y(n―1)) = 0 и распространил её на уравнения с частными производными.